MATLAB Integration (Integrazione)

L'integrazione tratta due problemi essenzialmente diversi.

• Nel primo tipo, viene dato il derivato della funzione, vogliamo trovare la funzione. Pertanto, abbiamo invertito fondamentalmente il processo di differenziazione. Questo processo inverso si chiama antidifferenziazione, o trovare la funzione originale, o trovareindefinite integral。

• Il secondo tipo di problema riguarda l'aggiunta di una grande quantità di quantità molto piccole, poi si prende un limite man mano che la dimensione delle quantità si avvicina a zero, mentre il numero di termini tende a infinito. La definizione che questo processo portadefinite integral。

L'integrale definito viene utilizzato per trovare aree, volumi, centro di gravità, momento d'inerzia, lavoro fatto dalla forza e molte altre applicazioni.

Cercare l'integrale indeterminato utilizzando MATLAB

Secondo la definizione, se la derivata della funzione f(x) è f'(x), allora diciamo che l'integrale indeterminato di f'(x) rispetto a x è f(x). Ad esempio, dato che x ²La derivata (rispetto a x) è 2x, quindi si può dire che l'integrale indeterminato di 2x è x ²。

在符号中-

f'(x²) = 2x， 所以，

∫ 2xdx = x².

不定积分不是唯一的，因为对于常数c的任何值，x ² + c的导数也将是2x。

这用符号表示为-

∫ 2xdx = x² + c。

其中，c被称为“任意常数”。

MATLAB提供了int用于计算表达式积分的命令。为了导出一个函数的不定积分的表达式，我们写：

int(f);

例如，从我们之前的示例中-

syms x　
int(2*x)

MATLAB esegue le seguenti istruzioni e restituisce i seguenti risultati-

ans =
　　　x^2

Esempio 1

在此示例中，让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

Eseguito il file, visualizza i seguenti risultati-

ans =
　　　piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
　　　-cos(n*t)/n
　　　ans =
　　　(a*sin(pi*t))/pi
　　　ans =
　　　a^x/log(a)

实例2

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x - 6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x - 6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

请注意，pretty函数以更易读的格式返回表达式。

Eseguito il file, visualizza i seguenti risultati-

ans =
　　　sin(x)
　
ans =
　　　exp(x)
　
ans =
　　　x*(log(x) - 1)
　
ans =
　　　log(x)
　
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　
　　　24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)　
　　　----------- + ------------ - ------------ + ------------　
　　　　　　3125　625　125　5　
　　　
　　　　　　　　3　5　
　
　　　4 x sin(5 x)　x sin(5 x)　
　　　------------- + -----------　
　　　　　　　　　25　5
　
ans =
-1/(4*x^4)
　
ans =
tan(x)
　　　　　　　　2　
　　x (3 x - 5 x + 1)
　
ans =　
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
　
　　　　　　6　5　4　3　
　　　　7 x　3 x　5 x　x　
　　- ---- - ---- + ---- + --　
　　　　　12　5　8　2

Trova l'integrale definito utilizzando MATLAB

Secondo la definizione, l'integrale definito è essenzialmente il limite della somma. Utilizziamo l'integrale definito per trovare aree, ad esempio l'area tra la curva e l'asse x e l'area tra due curve. Può essere utilizzato anche in altri casi, in cui la quantità necessaria può essere rappresentata come il limite della somma.

intPassando i limiti di integrazione da calcolare, la funzione può essere utilizzata per determinare l'integrale.

Calcolo

Scriviamo:

int(x, a, b)

Ad esempio, per calcolare un valore, scriviamo:

int(x, 4, 9)

MATLAB esegue le seguenti istruzioni e restituisce i seguenti risultati-

ans =
　　　65/2

以下是上述计算的Octave等效-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area:　'),　disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area:　
　　　32.500

可以使用quad()Octave提供的功能给出代替解决方案，如下所示：

pkg　load　symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area:　'),　disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area:　
　　　32.500

Esempio 1

Calcoliamo tra l'asse x e la curva y = x ³ l'area compresa tra -2x + 5 e l'asse y = x = 1 e x = 2.

L'area necessaria è data dalla seguente formula:

Crea un file script e inserisci il seguente codice-

f = x^3 - 2*x + 5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area:　'),　disp(double(a));

Eseguito il file, visualizza i seguenti risultati-

a　=
23/4
Area:　
　　　5.7500

以下是上述计算的Octave等效-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f = x^3 - 2*x + 5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area:　'),　disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area:　
　　　5.7500

可以使用quad()Octave提供的功能给出代替解决方案，如下所示：

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　inline("x^3　-　2*x　+5");
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　1,　2);
display('Area:　'),　disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area:　
　　　5.7500

实例2

找出曲线下的面积：　 f(x)= x ² cos(x)表示−4≤x≤9。

创建一个脚本文件并编写以下代码-

f　=　x^2*cos(x);
ezplot(f,　[-4,9])
a　=　int(f,　-4,　9)
display('Area:　'),　disp(double(a));

运行文件时，MATLAB绘制图形-

输出如下-

a　=　
8*cos(4)　+　18*cos(9)　+　14*sin(4)　+　79*sin(9)
　
Area:　
　　　0.3326

以下是上述计算的Octave等效-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f,　[-4,9])
print　-deps　graph.eps
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　-4,　9);
display('Area:　'),　disp(double(a));